05

Aplikasi turunan: optimum & garis singgung

05 · Perubahan & kalkulus awal8 menit · Menengah

Turunan bukan hanya aturan untuk dihafal. Ia menjawab dua pertanyaan yang sangat sering muncul: seberapa curam sebuah kurva di satu titik, dan di mana sesuatu mencapai puncak atau dasar.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Seberapa curam, dan di mana puncaknya

Turunan menjawab dua pertanyaan sekaligus: kemiringan kurva di satu titik, dan tempat kurva berhenti menanjak atau menurun.

5
5/5
Mencari puncak atau dasar berarti mencari tempat garis singgungnya datar, yaitu tempat turunannya nol. Turunan kedua yang menentukan jenisnya.

Konsep

Turunan adalah kemiringan garis singgung

f′(a) adalah gradien kurva tepat di x = a. Untuk f(x) = x² di x = 3, f′(x) = 2x sehingga f′(3) = 6. Artinya di titik itu kurva naik enam satuan untuk setiap satu satuan ke kanan.

Menyusun garis singgung

Garis singgung lewat titik (a, f(a)) dengan gradien f′(a), jadi y = f(a) + f′(a)(x − a). Dua potong informasi itu saja sudah cukup, tidak perlu titik kedua.

Titik stasioner

Di puncak atau dasar, garis singgungnya datar, jadi f′(x) = 0. Menyelesaikan persamaan itu memberi semua kandidat puncak dan dasar. Kandidat, bukan jawaban akhir: masih harus diperiksa jenisnya.

Menentukan jenisnya

Turunkan sekali lagi. Kalau f″(x) positif di titik itu, kurvanya membuka ke atas dan titiknya adalah minimum. Kalau negatif, titiknya maksimum. Untuk f(x) = x² − 6x + 11, f″(x) = 2 di mana pun, jadi titik stasionernya pasti minimum.

Rumus yang dipakai

Gradien garis singgung
m = f′(a)

Kemiringan kurva tepat di x = a.

Garis singgung
y = f(a) + f′(a)(x − a)

Butuh satu titik dan satu gradien.

Titik stasioner
f′(x) = 0

Kandidat puncak atau dasar.

Uji turunan kedua
f″(a) > 0 → minimum    f″(a) < 0 → maksimum

Menentukan jenis titik stasioner.

Contoh pengerjaan

Garis singgung di satu titik

Tentukan garis singgung f(x) = x² − 4x + 5 di x = 3.

  1. Turunannya: f′(x) = 2x − 4.
  2. Gradien di x = 3: f′(3) = 6 − 4 = 2.
  3. Titik singgungnya: f(3) = 9 − 12 + 5 = 2, jadi titiknya (3, 2).
  4. Masukkan ke rumus: y = 2 + 2(x − 3).
  5. Sederhanakan: y = 2x − 4.

Jawabany = 2x − 4

Poin penting

  • Turunan di satu titik adalah kemiringan kurva di titik itu.
  • Garis singgung butuh satu titik dan satu gradien.
  • Titik stasioner dicari dengan menyamakan turunan pertama dengan nol.
  • Turunan kedua menentukan apakah titik stasioner itu maksimum atau minimum.

Latihan singkat

Berapa nilai minimum f(x) = x² − 6x + 11?