05

Limit & kekontinuan

05 · Perubahan & kalkulus awal5 menit · Pemula

Limit menjawab pertanyaan ke arah mana nilainya bergerak, bukan berapa nilainya tepat di titik itu. Perbedaan halus itulah yang membuka seluruh kalkulus.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Mendekati, bukan sampai

Limit menjawab pertanyaan: ke arah mana nilainya bergerak, kalau kita mendekat dari dua arah sekaligus?

6
6/6
Nilai fungsi di satu titik dan limit di titik itu adalah dua pertanyaan berbeda. Limit bisa ada walau fungsinya tidak terdefinisi di sana.

Konsep

Mendekati, bukan sampai

Limit f(x) saat x menuju a adalah nilai yang didekati f(x) ketika x mendekat ke a, baik dari kiri maupun kanan. Nilai f(a) sendiri tidak harus ada.

Limit kiri dan limit kanan

Limit hanya ada kalau kedua arah menuju nilai yang sama. Fungsi tangga punya lompatan, sehingga limitnya di titik lompatan itu tidak ada, meskipun nilai fungsinya terdefinisi.

Kekontinuan

Fungsi kontinu di satu titik kalau nilainya ada, limitnya ada, dan keduanya sama. Kalau salah satu syarat gagal, grafiknya punya lubang atau lompatan di titik itu.

Rumus yang dipakai

Notasi limit
limx→a f(x) = L

L adalah nilai yang didekati.

Syarat kontinu
f(a) = limx→a f(x)

Nilai dan limitnya harus sama.

Contoh pengerjaan

Limit bentuk tak tentu

Hitung limx→2 (x² − 4) ÷ (x − 2)

  1. Substitusi langsung memberi 0 ÷ 0, yang tidak terdefinisi. Bentuknya perlu disederhanakan dulu.
  2. Faktorkan pembilangnya: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
  3. Bentuknya menjadi (x − 2)(x + 2) ÷ (x − 2). Untuk x ≠ 2, faktor (x − 2) bisa dicoret.
  4. Sisanya x + 2. Saat x menuju 2, nilainya 2 + 2 = 4.

Jawaban4

Poin penting

  • Limit melihat arah pendekatan, bukan nilai di titik itu.
  • Limit hanya ada kalau limit kiri dan kanannya sama.
  • Bentuk 0/0 harus disederhanakan lebih dulu.
  • Fungsi kontinu boleh dihitung dengan substitusi langsung.

Latihan singkat

Berapa limx→3 (x + 5)?