02

Suku banyak & teorema sisa

02 · Aljabar & persamaan8 menit · Menengah

Suku banyak adalah bentuk aljabar dengan banyak suku berpangkat bulat. Yang membuatnya berguna bukan panjangnya, melainkan sifatnya: sisa dan faktornya bisa diketahui tanpa melakukan pembagian penuh.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Tiga akar, satu kurva

Derajat suku banyak menentukan banyaknya akar paling banyak, dan akar-akar itu adalah tempat kurvanya memotong sumbu-x.

5
5/5
Membagi kurva dengan (x − 2) menurunkan derajatnya satu tingkat, dan begitu seterusnya sampai semua akarnya habis.

Konsep

Bentuk dan derajat

Bentuk umumnya aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀, dan pangkat tertinggi n disebut derajat. x³ − 4x² + x + 6 berderajat tiga, dan karena itu paling banyak punya tiga akar.

Teorema sisa

Sisa pembagian f(x) oleh (x − k) sama dengan f(k). Untuk f(x) = x³ − 4x² + x + 6 dibagi (x − 2), sisanya adalah f(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0. Tidak perlu pembagian panjang.

Teorema faktor

Kalau f(k) = 0, maka (x − k) adalah faktor dari f(x). Dari contoh tadi f(2) = 0, jadi (x − 2) memang faktor. Kalau f(k) bukan nol, (x − k) bukan faktor, dan nilai f(k) itu sendiri adalah sisanya.

Mencari faktor yang lain

Setelah satu faktor diketahui, bagi suku banyaknya untuk mendapat faktor berderajat lebih rendah. x³ − 4x² + x + 6 dibagi (x − 2) memberi x² − 2x − 3, yang masih bisa difaktorkan menjadi (x − 3)(x + 1).

Rumus yang dipakai

Teorema sisa
f(x) ÷ (x − k) bersisa f(k)

Menghindari pembagian panjang.

Teorema faktor
(x − k) faktor  ⇔  f(k) = 0

Dua arah, jadi bisa dipakai bolak-balik.

Bentuk pembagian
f(x) = (x − k) · H(x) + f(k)

H(x) adalah hasil baginya.

Contoh pengerjaan

Periksa faktor, lalu lanjutkan

Tentukan apakah (x − 2) faktor dari f(x) = x³ − 4x² + x + 6, lalu faktorkan sepenuhnya.

  1. Hitung f(2) = 2³ − 4(2²) + 2 + 6 = 8 − 16 + 2 + 6 = 0.
  2. Karena f(2) = 0, (x − 2) adalah faktor.
  3. Bagi f(x) dengan (x − 2) untuk mendapat x² − 2x − 3.
  4. Faktorkan sisanya: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
  5. Jadi f(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1).

Jawabanf(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1)

Poin penting

  • Derajat suku banyak menentukan banyaknya akar paling banyak.
  • Sisa pembagian oleh (x − k) sama dengan f(k).
  • Kalau f(k) = 0, maka (x − k) adalah faktor.
  • Setelah satu faktor ditemukan, bagi untuk mencari faktor berikutnya.

Latihan singkat

Berapa sisa pembagian f(x) = x³ + 2x² − 5x + 3 oleh (x − 1)?