03

Geometri analitik: jarak & titik tengah

03 · Geometri & pengukuran8 menit · Menengah

Geometri analitik menaruh bangun geometri pada bidang koordinat, sehingga jarak dan posisi bisa dihitung dengan aljabar. Segitiga dan garis yang tadinya digambar sekarang punya angka.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Jarak yang dihitung, bukan diukur

Selisih koordinat membentuk segitiga siku-siku, dan Pythagoras menyelesaikan sisanya. Tidak perlu menggambar apa pun dengan penggaris.

5
5/5
Cara yang sama dipakai untuk jarak titik ke garis, dengan selisih koordinat diganti rumus yang mengukur jarak tegak lurus.

Konsep

Jarak dua titik

Jarak dua titik dihitung dengan Pythagoras, karena selisih x dan selisih y adalah dua kaki segitiga siku-siku. Dari (1, 2) ke (4, 6): selisihnya 3 dan 4, sehingga jaraknya √(9 + 16) = 5.

Titik tengah

Titik tengah adalah rata-rata kedua koordinatnya, bukan jarak dibagi dua. Dari (1, 2) dan (4, 6), titik tengahnya ((1 + 4) ÷ 2, (2 + 6) ÷ 2) = (2,5 ; 4).

Jarak titik ke garis

Untuk garis ax + by + c = 0 dan titik (x₁, y₁), jaraknya adalah |a·x₁ + b·y₁ + c| ÷ √(a² + b²). Nilai mutlaknya penting, karena jarak tidak pernah negatif walaupun hasil substitusinya negatif.

Kedudukan titik terhadap garis

Substitusi titik ke ruas kiri garis memberi tahu di sisi mana titik itu berada. Untuk 3x + 4y − 5 = 0, titik (2, 3) memberi 13 yang positif, sedangkan (0, 0) memberi −5 yang negatif. Keduanya di sisi berlawanan, dan jaraknya sama-sama diukur dari garis yang sama.

Rumus yang dipakai

Jarak dua titik
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Berasal dari Teorema Pythagoras.

Titik tengah
M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)

Rata-rata tiap koordinat.

Jarak titik ke garis
|a·x₁ + b·y₁ + c| ÷ √(a² + b²)

Pembilang selalu dibuat positif.

Contoh pengerjaan

Jarak titik ke sebuah garis

Tentukan jarak titik (2, 3) ke garis 3x + 4y − 5 = 0.

  1. Baca koefisiennya: a = 3, b = 4, dan c = −5.
  2. Substitusikan titiknya: 3(2) + 4(3) − 5 = 6 + 12 − 5 = 13.
  3. Hitung penyebutnya: √(3² + 4²) = √25 = 5.
  4. Jaraknya 13 ÷ 5 = 2,6 satuan.
  5. Periksa dengan titik lain di sisi berlawanan, (0, 0): substitusinya −5, dan jaraknya 5 ÷ 5 = 1.

Jawaban2,6 satuan

Poin penting

  • Jarak dua titik adalah Pythagoras pada selisih koordinatnya.
  • Titik tengah adalah rata-rata koordinat, bukan jarak dibagi dua.
  • Jarak titik ke garis selalu positif karena memakai nilai mutlak.
  • Substitusi titik ke garis menentukan di sisi mana titik itu berada.

Latihan singkat

Berapa jarak titik (0, 0) ke garis 3x + 4y − 10 = 0?