Sampai di sini turunan baru menangani pangkat sederhana. Fungsi yang muncul di soal jarang sesederhana itu: ada yang dikalikan, ada yang dibagi, dan ada yang bersarang di dalam fungsi lain. Tiga aturan berikut menutup semua bentuk itu.
Hasil kali, pembagian, dan fungsi bersarang diturunkan dengan aturan yang berbeda. Yang paling sering salah adalah memilih aturannya.
Aturan perkalian
Aturan rantai
Kalau dua fungsi dikalikan, turunannya bukan hasil kali kedua turunannya. Untuk f(x) = x²(x + 3), turunannya 2x(x + 3) + x² · 1 = 3x² + 6x. Hasil yang sama memang bisa didapat dengan menjabarkan dahulu, tetapi aturan ini bekerja walau penjabarannya panjang.
Untuk f(x) = (x + 1)/(x − 1), pembilangnya mengikuti pola aturan perkalian tetapi dikurang, dan penyebutnya dikuadratkan. Hasilnya −2/(x − 1)². Pembilangnya selalu berbentuk turunan atas dikali bawah, dikurangi atas dikali turunan bawah.
Untuk fungsi yang bersarang, turunkan dulu bagian luarnya, lalu kalikan dengan turunan bagian dalamnya. Pada f(x) = (2x + 3)4, bagian luarnya pangkat empat dan bagian dalamnya 2x + 3, sehingga turunannya 4(2x + 3)3 · 2.
Sebelum menurunkan, tentukan bentuknya: perkalian, pembagian, atau bersarang. Salah membaca bentuk berarti salah memilih aturan. x(x + 1)3 adalah perkalian, bukan rantai, sedangkan (x² + 1)3 adalah rantai, bukan perkalian.
Turunkan satu per satu, sisanya dibiarkan.
Pembilangnya mirip aturan perkalian, tetapi dikurang.
Turunan luar dikali turunan dalam.
Kasus rantai yang paling sering muncul.
Tentukan turunan f(x) = (2x + 3)4.
Jawabanf′(x) = 8(2x + 3)3
Turunan dari f(x) = (3x − 1)5 adalah?