03

Irisan kerucut

03 · Geometri & pengukuran9 menit · Menengah

Potong sebuah kerucut dengan bidang datar, dan hasil potongannya hanya bisa berbentuk beberapa kurva tertentu: lingkaran, elips, parabola, atau hiperbola. Keempatnya punya persamaan yang mirip, dan yang membedakan cuma tanda serta letak suku-sukunya.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Satu kerucut, empat potongan

Parabola bukan hanya grafik fungsi kuadrat. Ia salah satu dari empat kurva yang muncul saat kerucut dipotong bidang datar, dan definisinya tentang jarak.

5
5/5
Lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola semuanya berasal dari potongan kerucut yang sama. Yang membedakan hanya kemiringan bidang pemotongnya.

Konsep

Lingkaran

Himpunan titik yang jaraknya sama dari satu titik pusat. Persamaannya x² + y² = r² kalau pusatnya di titik asal. Lingkaran sebenarnya elips yang kedua fokusnya berimpit, dan itu sebabnya ia masuk keluarga yang sama.

Elips

Jumlah jarak ke dua titik fokus selalu tetap. Bentuk standarnya x²/a² + y²/b² = 1. Sumbu terpanjangnya 2a, sumbu terpendeknya 2b, dan kedua fokusnya terletak pada sumbu yang lebih panjang.

Parabola

Jarak ke satu titik fokus sama dengan jarak ke satu garis direktriks. Bentuk y² = 4px membuka ke kanan dengan fokus di (p, 0) dan direktriks x = −p. Berbeda dari parabola fungsi kuadrat, di sini sumbu simetrinya mendatar.

Hiperbola dan eksentrisitas

Selisih jarak ke dua fokus yang tetap menghasilkan hiperbola, dengan tanda kurang di antara kedua sukunya. Keempat kurva itu bisa dibedakan lewat satu angka, yaitu eksentrisitas: 0 untuk lingkaran, antara 0 dan 1 untuk elips, tepat 1 untuk parabola, dan lebih dari 1 untuk hiperbola.

Rumus yang dipakai

Lingkaran
x² + y² = r²

Pusat di titik asal, jari-jari r.

Elips
x²a² + y²b² = 1

Jumlah jarak ke kedua fokus tetap.

Parabola
y² = 4px

Fokus di (p, 0), direktriks x = -p.

Hiperbola
x²a² − y²b² = 1

Selisih jarak ke kedua fokus tetap.

Contoh pengerjaan

Membaca fokus dan direktriks parabola

Tentukan fokus dan direktriks parabola y² = 12x.

  1. Bandingkan dengan bentuk bakunya, y² = 4px.
  2. Dari 4p = 12 diperoleh p = 3.
  3. Karena p positif, parabolanya membuka ke kanan.
  4. Fokusnya di (p, 0), yaitu (3, 0).
  5. Direktriksnya garis tegak x = −p, yaitu x = −3.

JawabanFokus (3, 0), direktriks x = −3

Poin penting

  • Lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola berasal dari satu keluarga irisan kerucut.
  • Elips memakai jumlah jarak ke dua fokus, hiperbola memakai selisihnya.
  • Pada y² = 4px, fokusnya di (p, 0) dan direktriksnya x = -p.
  • Eksentrisitas membedakan keempatnya dengan satu angka saja.

Latihan singkat

Di manakah fokus parabola y² = 8x?