04

Distribusi peluang: binomial & normal

04 · Data & peluang9 menit · Menengah

Peluang satu kejadian hanya satu angka. Begitu kejadiannya diulang, yang menarik justru seluruh sebaran hasilnya: berapa peluang muncul 0 kali, 1 kali, 2 kali, dan seterusnya. Sebaran itulah yang disebut distribusi peluang.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Sebaran empat lemparan koin

Satu peluang hanya satu angka. Yang lebih bercerita adalah sebaran seluruh hasil: berapa banyak cara untuk masing-masing nilai.

5
5/5
Tinggi batang menyatakan banyaknya urutan, bukan peluangnya. Untuk mendapat peluang, bagi tiap batang dengan 16.

Konsep

Variabel acak dan distribusinya

Variabel acak adalah hasil percobaan yang nilainya belum pasti. Distribusi peluangnya adalah daftar semua nilai yang mungkin beserta peluangnya. Dua syaratnya: setiap peluang tidak negatif, dan jumlah seluruhnya tepat 1.

Distribusi binomial

Dipakai kalau percobaannya diulang n kali, setiap ulangan hanya punya dua hasil, peluangnya tetap, dan ulangannya saling bebas. Peluang tepat k keberhasilan adalah banyaknya susunan dikali peluang satu susunan.

Rata-rata dan simpangan baku binomial

Untuk n ulangan dengan peluang keberhasilan p, rata-ratanya np dan simpangan bakunya akar dari np(1 − p). Rata-rata saja tidak cukup: dua distribusi bisa punya rata-rata sama tetapi sangat berbeda lebarnya.

Distribusi normal dan aturan empiris

Kalau ulangannya sangat banyak, bentuk sebarannya mendekati kurva normal yang simetris. Sekitar 68 persen data berada dalam satu simpangan baku dari rata-rata, 95 persen dalam dua, dan 99,7 persen dalam tiga. Angka-angka itu berlaku untuk semua kurva normal, berapa pun rata-ratanya.

Rumus yang dipakai

Peluang binomial
P(X = k) = C(n, k) pk(1 − p)n−k

C(n, k) adalah banyaknya susunan k keberhasilan dari n ulangan.

Rata-rata binomial
μ = np

Jumlah ulangan dikali peluang keberhasilan.

Simpangan baku binomial
σ = √np(1 − p)

Mengukur lebar sebarannya.

Aturan empiris
μ ± σ → 68%

Juga 95% dalam ±2σ dan 99,7% dalam ±3σ.

Contoh pengerjaan

Peluang tepat dua gambar

Sebuah koin dilempar 3 kali. Berapa peluang muncul tepat 2 gambar?

  1. n = 3 ulangan, peluang gambar p = 1/2, dan yang dicari k = 2.
  2. Banyak susunannya: C(3, 2) = 3, yaitu GGB, GBG, dan BGG.
  3. Peluang satu susunan: (1/2)3 = 1/8, karena ketiga lemparan itu bebas.
  4. Kalikan keduanya: 3 · 1/8 = 3/8.
  5. Periksa dengan rata-ratanya: np = 3 · 1/2 = 1,5 gambar, dan 2 memang dekat dengan angka itu.

Jawaban3/8

Poin penting

  • Distribusi peluang adalah daftar nilai beserta peluangnya, dan jumlahnya 1.
  • Binomial butuh ulangan tetap, dua hasil, peluang tetap, dan saling bebas.
  • Rata-rata binomial np, simpangan bakunya akar np(1 - p).
  • Aturan empiris 68, 95, dan 99,7 persen berlaku untuk semua kurva normal.

Latihan singkat

Sebuah koin dilempar 4 kali. Berapa peluang muncul tepat 3 gambar?