Lingkaran tidak punya sudut, tapi punya banyak bagian yang bernama. Tiga di antaranya yang paling sering muncul di soal: sudut pusat, juring, dan garis singgung.
Lihat dulu
LIHAT DULU
Satu lingkaran, bagian demi bagian
Juring, busur, tali busur, dan garis singgung semuanya punya nama. Mengenal namanya membuat soal jauh lebih mudah dibaca.
5/5
Sudut pusat selalu dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama, dan sifat tegak lurus itulah yang membuat Pythagoras bisa dipakai pada garis singgung.
Konsep
Unsur-unsur lingkaran
Jari-jari adalah jarak pusat ke tepi, dan diameternya dua kali jari-jari. Tali busur adalah ruas yang menghubungkan dua titik di tepi, sedangkan busur adalah lengkungan di antara kedua titik itu. Kalau ujung-ujung tali busur disambungkan ke pusat, daerah yang terbentuk namanya juring; kalau tidak, daerah yang dibatasi tali busur dan busurnya disebut tembereng.
Sudut pusat dua kali sudut keliling
Kalau sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, sudut pusatnya tepat dua kali lipat. Akibat yang paling sering dipakai: sudut keliling yang menghadap diameter selalu 90°, karena sudut pusatnya 180°.
Garis singgung tegak lurus jari-jari
Garis singgung menyentuh lingkaran di tepat satu titik, dan di titik itu ia tegak lurus jari-jarinya. Dari satu titik di luar lingkaran selalu bisa ditarik dua garis singgung, dan keduanya sama panjang. Sudut siku-siku itulah yang membuat Pythagoras bisa dipakai untuk menghitung panjangnya.
Rumus yang dipakai
Keliling dan luas
K = 2πr L = πr²
Dasar semua rumus lingkaran yang lain.
Sudut pusat
sudut pusat = 2 × sudut keliling
Kalau keduanya menghadap busur yang sama.
Panjang busur
θ360° × 2πr
Bagian dari seluruh keliling.
Luas juring
θ360° × πr²
Bagian dari seluruh luas.
Garis singgung
l = √d² − r²
d jarak titik luar ke pusat, r jari-jari.
Contoh pengerjaan
Luas juring dengan sudut 72 derajat
Sebuah lingkaran berjari-jari 10 cm. Hitung luas juring dan panjang busur yang sudut pusatnya 72°.
Bagian lingkaran yang ditempati juring sama dengan bagian sudutnya: 72360 = 15.
Luas seluruh lingkaran: πr² = 3,14 × 10 × 10 = 314 cm².
Luas juringnya 15 × 314 = 62,8 cm².
Panjang busurnya juga 15 dari keliling: 15 × 2 × 3,14 × 10 = 12,56 cm.
Periksa: 62,8 ÷ 314 = 0,2, sama dengan 72 ÷ 360. Bagiannya memang seperlima.
JawabanLuas 62,8 cm², panjang busur 12,56 cm
Poin penting
Sudut pusat selalu dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Sudut keliling yang menghadap diameter besarnya 90 derajat.
Garis singgung tegak lurus jari-jari di titik singgungnya.
Panjang busur dan luas juring sebanding dengan besar sudut pusatnya.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Sebuah sudut pusat besarnya 80°. Berapa besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama?
Sudut pusat yang lebih besar, sudut keliling yang lebih kecil.
PembahasanSudut pusat dua kali sudut keliling, jadi sudut kelilingnya 80° ÷ 2 = 40°. Pilihan 160° justru mengalikan, bukan membagi.
SedangSoal 2 dari 3
Sebuah lingkaran berjari-jari 7 cm. Berapa luas juring yang sudut pusatnya 90°? Pakai 227 untuk π.
90° itu seperempat dari 360°.
PembahasanSudut 90° adalah seperempat putaran, jadi luas juringnya seperempat luas lingkaran: 14 × 227 × 7 × 7 = 14 × 154 = 38,5 cm². Menjawab 154 cm² berarti menjawab luas seluruh lingkarannya.
SedangSoal 3 dari 3
Urutkan langkah mencari panjang garis singgung dari titik P yang berjarak 13 cm dari pusat lingkaran berjari-jari 5 cm.
Mulai dari sifat garis singgung, baru masuk ke Pythagoras.
1Sisi miringnya OP = 13 cm, dan salah satu sisi tegaknya OT = 5 cm.
2Tandai titik singgungnya T, lalu hubungkan O ke T dan O ke P.
3Pythagoras: PT² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, jadi PT = 12 cm.
4Karena garis singgung tegak lurus jari-jari, segitiga OTP siku-siku di T.
PembahasanSudut siku-siku di T itulah alasan Pythagoras boleh dipakai, dan itu berasal dari sifat garis singgung. Kalau kedua sisi dijumlahkan, hasilnya 194 dan akarnya bukan bilangan bulat, tanda bahwa sisi miring dan sisi tegak tertukar.