Bangun ruang punya panjang, lebar, dan tinggi sekaligus, sehingga jarak di dalamnya tidak lagi muat di satu segitiga. Alat hitungnya tetap Pythagoras, hanya dipasang dua kali berturut-turut.
Lihat dulu
LIHAT DULU
Diagonal yang melintasi isi balok
Jarak di dalam bangun ruang tidak muat di satu segitiga. Diagonal ruang dihitung dari diagonal alasnya, jadi Pythagoras dipakai dua kali berturut-turut.
5/5
Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang selalu diukur setelah garisnya diproyeksikan ke bidang itu. Tanpa proyeksi, sudutnya terukur terlalu besar.
Konsep
Rusuk, diagonal sisi, dan diagonal ruang
Rusuk adalah garis pertemuan dua sisi, misalnya AB. Diagonal sisi menghubungkan dua titik sudut pada satu sisi yang sama, misalnya AC pada alas. Diagonal ruang menghubungkan dua titik sudut yang tidak sebidang, misalnya AG, dan garis itu melintasi bagian dalam bangun.
Pythagoras dipakai dua kali
Diagonal sisi dihitung dari dua rusuk yang bertemu tegak lurus. Diagonal ruang dihitung dari diagonal sisi dan satu rusuk tegak. Tidak ada rumus baru di sini: hanya dua segitiga siku-siku yang dipasang berurutan, dan yang kedua memakai hasil yang pertama.
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang diukur setelah garis itu diproyeksikan ke bidangnya. Proyeksi AG pada alas adalah AC, jadi sudut yang dicari adalah sudut antara AG dan AC. Tanpa memproyeksikan lebih dulu, sudutnya selalu terukur terlalu besar.
Rumus yang dipakai
Diagonal sisi
d = √p² + l²
Dihitung dari dua rusuk yang bertemu tegak lurus.
Diagonal ruang
D = √p² + l² + t²
Rusuk tegak ikut masuk ke dalam akar.
Sudut terhadap alas
tan θ = td
Tinggi dibagi proyeksinya, yaitu diagonal alas.
Contoh pengerjaan
Diagonal ruang dan sudutnya pada balok 4 × 3 × 2
Sebuah balok berukuran panjang 4 cm, lebar 3 cm, dan tinggi 2 cm. Hitung panjang diagonal ruangnya, lalu sudut yang dibentuknya dengan alas.
Cari dulu diagonal alasnya: AC = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm.
Sekarang ada segitiga ACG yang siku-siku di C, dengan AC = 5 dan CG = 2.
Pythagoras sekali lagi: AG = √(5² + 2²) = √29 ≈ 5,39 cm.
Sudut terhadap alas diukur di A, antara AG dan proyeksinya AC.
tan θ = CG ÷ AC = 2 ÷ 5 = 0,4, sehingga θ ≈ 21,8°.
JawabanDiagonal ruangnya √29 ≈ 5,39 cm, dan sudutnya ≈ 21,8°
Poin penting
Diagonal ruang dihitung dengan Pythagoras dua kali, bukan dengan rumus baru.
Sudut antara garis dan bidang diukur setelah garisnya diproyeksikan lebih dulu.
Balok 4 × 3 × 2 punya diagonal sisi 5 dan diagonal ruang √29.
Kubus bersisi a punya diagonal sisi a√2 dan diagonal ruang a√3.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Sebuah kubus punya panjang rusuk 3 cm. Berapa panjang diagonal sisinya?
Diagonal sisi dihitung dari dua rusuk yang bertemu tegak lurus, jadi gunakan Pythagoras pada dua rusuk.
PembahasanDiagonal sisi kubus selalu a√2, jadi 3√2 ≈ 4,24 cm. Pilihan 3√3 adalah diagonal ruangnya, dan 6 cm datang dari mengalikan rusuk dengan 2, padahal diagonal sisi hanya 1,41 kali rusuknya.
SedangSoal 2 dari 3
Manakah yang benar untuk sebuah kubus dengan panjang rusuk a?
Bandingkan √3 dengan √2, jangan dengan 2.
PembahasanDiagonal sisi a√2 dan diagonal ruang a√3 keduanya benar, dan pada kubus semua rusuk memang sama panjang. Yang salah adalah perbandingan 2 kali itu: √3 ÷ √2 ≈ 1,22, bukan 2.
SulitSoal 3 dari 3
Sebuah balok berukuran panjang 6 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm. Berapa panjang diagonal ruangnya?
Jumlahkan kuadrat ketiga rusuk, lalu tarik akarnya.
PembahasanDiagonal ruangnya √(6² + 2² + 3²) = √(36 + 4 + 9) = √49 = 7 cm. Ketiga rusuk masuk ke dalam akar; memakai dua rusuk saja hanya memberi diagonal sisi.