Koordinat Cartesius menentukan letak sebuah titik dengan dua jarak. Ada cara lain yang lebih cocok untuk benda yang berputar atau memancar: tentukan jaraknya dari satu titik, lalu tentukan arahnya.
Lihat dulu
LIHAT DULU
Jarak dan sudut, bukan dua jarak
Untuk benda yang berputar atau memancar, letak sebuah titik lebih mudah ditulis sebagai jaraknya dari pusat dan sudut arahnya.
5/5
Sudut pada koordinat polar diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif, dan r yang negatif berarti arahnya dibalik, bukan jaraknya negatif.
Konsep
Jarak dan sudut, bukan dua jarak
Koordinat polar menulis sebuah titik sebagai (r, θ). r adalah jarak titik itu ke titik asal, dan θ adalah sudut yang diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif. Titik asalnya disebut kutub, dan sumbu acuannya disebut sumbu polar.
Hubungannya dengan koordinat Cartesius
Komponen r membentuk segitiga siku-siku dengan sumbu x, sehingga r adalah sisi miringnya. Dari situ x dan y bisa dihitung dengan perbandingan trigonometri, dan sebaliknya r serta θ bisa dipulihkan dengan Pythagoras dan tangen.
Satu titik, banyak pasangan
Sudut yang berbeda 360° menunjuk arah yang sama, jadi (r, θ) sama dengan (r, θ + 360°). Selain itu −r berarti arahnya dibalik, jadi (−r, θ) sama dengan (r, θ + 180°). Tidak seperti koordinat Cartesius, penulisan sebuah titik di sini tidak tunggal.
Rumus yang dipakai
Mendatar
x = r cos θ
Proyeksi ke sumbu x, memakai sudut yang sama.
Tegak
y = r sin θ
Proyeksi ke sumbu y.
Jarak ke kutub
r = √x² + y²
Pythagoras pada kedua komponennya.
Sudutnya
tan θ = yx
Periksa kuadrannya, karena tangen mengulang tiap 180°.
Contoh pengerjaan
Mengubah (3, 60°) ke koordinat Cartesius
Sebuah titik punya koordinat polar r = 3 dan θ = 60°. Tentukan koordinat Cartesiusnya.
Diketahui r = 3 dan θ = 60°, dengan cos 60° = 0,5 dan sin 60° ≈ 0,866.
x = r cos θ = 3 × 0,5 = 1,5.
y = r sin θ = 3 × 0,866 ≈ 2,6.
Jadi titik itu sama dengan (1,5 ; 2,6) pada koordinat Cartesius.
Periksa kembali jaraknya: √(1,5² + 2,6²) ≈ √9,01 ≈ 3, sesuai dengan r semula.
Jawaban(1,5 ; 2,6)
Poin penting
Koordinat polar memakai jarak r dan sudut θ, bukan x dan y.
x = r cos θ dan y = r sin θ menghubungkannya dengan Cartesius.
Satu titik punya banyak pasangan polar, karena sudutnya boleh ditambah 360°.
r negatif berarti arahnya dibalik, bukan jaraknya yang negatif.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Titik dengan koordinat polar (2, 90°) berada di mana pada koordinat Cartesius?
Hitung x dengan kosinus dan y dengan sinus.
Pembahasancos 90° = 0 dan sin 90° = 1, sehingga x = 2 × 0 = 0 dan y = 2 × 1 = 2. Jadi titiknya di (0, 2). Pilihan (2, 0) menukar peran kedua fungsi, dan itu terjadi kalau sinus dan kosinus tertukar.
SedangSoal 2 dari 3
Berapa jarak titik (3, 4) ke titik asal, ditulis sebagai r?
r adalah jarak ke titik asal, jadi pakai Pythagoras pada x dan y.
Pembahasanr = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Jarak ke kutub tidak bergantung pada sudutnya, jadi nilainya sama dengan besar vektor posisi titik itu.
SulitSoal 3 dari 3
Titik (3, 60°) dan titik (−3, 240°) menunjuk tempat yang sama.
Membalik tanda r sama dengan memutar arahnya 180°.
PembahasanMenambah 180° pada sudut membalik arah, dan tanda r yang negatif membalikkannya sekali lagi, sehingga keduanya kembali ke arah semula. Inilah sebabnya penulisan titik dalam koordinat polar tidak tunggal.