Sebuah peluang bisa berubah setelah kita tahu sesuatu. Peluang bersyarat mengukur peluang satu kejadian setelah kejadian lain diketahui sudah terjadi, dan hasilnya tidak harus sama dengan peluang semula.
Lihat dulu
LIHAT DULU
Peluang yang berubah di tahap kedua
Mengambil tanpa mengembalikan membuat isi kantong menyusut, dan peluang tahap kedua ikut berubah. Pohon peluang menampilkan setiap jalur beserta bobotnya.
5/5
Peluang tahap kedua berbeda dari yang pertama, dan itulah peluang bersyarat: nilainya dihitung setelah tahap pertama diketahui.
Konsep
Peluang bersyarat
P(A|B) dibaca peluang A dengan syarat B. Yang berubah bukan kejadiannya, melainkan ruang sampelnya: begitu B diketahui terjadi, yang tersisa hanya hasil-hasil di dalam B, dan A dihitung di dalam ruang yang menyempit itu. Karena itu P(A|B) berbeda dari P(A) kecuali kalau keduanya saling bebas.
Aturan perkalian
Dari definisi P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) bisa dibalik: peluang dua kejadian terjadi berturut-turut sama dengan peluang kejadian pertama dikalikan peluang kejadian kedua setelah yang pertama diketahui. Aturan ini yang dipakai pada pengambilan tanpa pengembalian, karena apa yang tersisa di dalam kantong bergantung pada apa yang sudah keluar.
Teorema Bayes
Kadang yang diketahui justru P(B|A) dan yang dicari P(A|B). Bayes menukar keduanya dengan menimbang seberapa besar peluang masing-masing kejadian. Hasilnya sering berlawanan dengan dugaan: kejadian yang jarang tetapi sangat cocok dengan bukti bisa tetap kalah oleh kejadian yang biasa tetapi cukup cocok.
Rumus yang dipakai
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
Berlaku selama P(B) bukan nol.
Aturan perkalian
P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B)
Dipakai berurutan pada pengambilan tanpa pengembalian.
Teorema Bayes
P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)
Menukar arah syaratnya.
Contoh pengerjaan
Bola kedua dari kantong yang menyusut
Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 2 bola biru. Dua bola diambil satu per satu tanpa dikembalikan. Berapa peluang bola kedua berwarna merah?
Ambil pertama: P(M) = 3/5 dan P(B) = 2/5, karena seluruh 5 bola masih ada.
Kalau bola pertama merah, yang tersisa 2 merah dan 2 biru, sehingga P(M|M) = 2/4.
Kalau bola pertama biru, yang tersisa 3 merah dan 1 biru, sehingga P(M|B) = 3/4.
Hasilnya 3/5, sama dengan peluang bola pertama. Pengambilan tanpa pengembalian mengubah peluang tahap kedua, tetapi peluang warna merah pada satu pengambilan tetap sama.
Jawaban3/5
Poin penting
Peluang bersyarat menyempitkan ruang sampel, bukan mengubah kejadiannya.
Peluang berturut-turut dikalikan, bukan dijumlahkan.
Pengambilan tanpa pengembalian membuat tahap kedua bergantung pada tahap pertama.
Bayes dipakai kalau yang diketahui adalah arah syarat yang sebaliknya.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 6 bola biru. Satu bola diambil dan ternyata merah, lalu tidak dikembalikan. Berapa peluang bola kedua juga merah?
Kurangi dulu jumlah bola merah dan jumlah seluruh bola, karena bolanya tidak dikembalikan.
PembahasanSetelah satu bola merah keluar dan tidak dikembalikan, yang tersisa 3 merah dan 6 biru, jadi 9 bola seluruhnya. Peluangnya 39 = 13. Membagi dengan 10 berarti mengembalikan bolanya lebih dulu.
SedangSoal 2 dari 3
Dari satu set 52 kartu, satu kartu diambil dan ternyata kartu hati. Berapa peluang kartu itu As? Tulis sebagai pecahan, misalnya 1/2.
Ruang sampelnya sudah menyusut menjadi 13 kartu hati saja.
PembahasanSyaratnya sudah menyempitkan ruang sampel: yang tersisa hanya 13 kartu hati. Di antaranya hanya satu yang As, jadi peluangnya 1/13, bukan 4/52.
SulitSoal 3 dari 3
Dua kejadian yang saling lepas pasti juga saling bebas.
Apa yang terjadi pada peluang A kalau B diketahui sudah terjadi?
PembahasanJustru sebaliknya. Kalau A dan B saling lepas dan keduanya berpeluang positif, maka terjadinya B membuat A mustahil, sehingga P(A|B) = 0 dan itu tidak sama dengan P(A). Kejadian yang saling lepas saling memengaruhi, jadi bukan saling bebas.