02

Barisan & deret

02 · Aljabar & persamaan8 menit · Menengah

Barisan adalah daftar bilangan yang aturannya jelas, dan deret adalah jumlah dari daftar itu. Keduanya berguna justru karena aturannya membuat suku mana pun bisa dihitung tanpa perlu mendaftar satu per satu.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Lima suku yang berjarak tetap

Barisan aritmetika tumbuh dengan beda yang tetap, sehingga suku mana pun bisa dihitung langsung dari suku pertama dan bedanya. Menjumlahkan sukunya melahirkan deret, dan notasi sigma menyingkat penulisannya.

5
5/5
Barisan geometri memakai rasio, bukan beda: tiap suku dikali angka yang sama, sehingga pertumbuhannya makin cepat.

Konsep

Pola, bukan daftar acak

Barisan punya aturan yang menentukan tiap sukunya. Dari 2, 4, 6, 8, … aturannya “tambah 2”, sehingga suku berikutnya bisa ditulis tanpa ragu. Yang penting bukan bilangannya, melainkan aturan yang menghasilkannya. Suku ke-n ditulis Un, dan suku pertamanya ditulis a.

Barisan aritmetika: beda tetap

Kalau selisih dua suku berurutan selalu sama, barisannya disebut aritmetika dan selisih itu disebut beda, ditulis b. Barisan aritmetika tumbuh dengan kecepatan tetap, sehingga grafiknya berupa garis lurus. Yang membuatnya praktis, suku ke-n hanya butuh suku pertama dan bedanya, tanpa perlu tahu suku-suku sebelumnya.

Barisan geometri: rasio tetap

Kalau perbandingan dua suku berurutan selalu sama, barisannya disebut geometri dan perbandingan itu disebut rasio, ditulis r. Barisan ini tumbuh makin cepat, bukan dengan kecepatan tetap, dan itulah yang membuat ia cocok untuk pertumbuhan penduduk, bunga majemuk, maupun peluruhan zat. Bedanya dengan barisan aritmetika hanya satu: aritmetika menambah, geometri mengali.

Deret dan notasi sigma

Deret adalah jumlah suku-suku barisan, dan jumlah n suku pertama ditulis Sn. Menjumlahkannya satu per satu bisa, tetapi panjang. Notasi sigma menyingkatnya menjadi satu lambang, dan untuk barisan aritmetika jumlahnya bisa dihitung langsung: rata-rata suku pertama dan suku terakhir, dikali banyaknya suku.

Rumus yang dipakai

Suku ke-n barisan aritmetika
Un = a + (n − 1)b

Hanya butuh suku pertama dan bedanya.

Jumlah n suku barisan aritmetika
Sn = n2(a + Un)

Rata-rata suku pertama dan terakhir, dikali banyaknya suku.

Suku ke-n barisan geometri
Un = a · rn − 1

Rasio dipangkatkan sebanyak langkah dari suku pertama.

Notasi sigma
S = Σ Uk, untuk k = 1 sampai n

Penjumlahan semua suku, ditulis dalam satu lambang.

Contoh pengerjaan

Suku ke-10 dan jumlah sepuluh suku pertama

Barisan 2, 4, 6, 8, … adalah barisan aritmetika. Tentukan suku ke-10 dan jumlah sepuluh suku pertamanya.

  1. Suku pertamanya a = 2, dan bedanya b = 4 − 2 = 2.
  2. Suku ke-10: U10 = 2 + (10 − 1) · 2 = 2 + 18 = 20.
  3. Jumlahnya memakai rata-rata suku pertama dan suku terakhir: (2 + 20) / 2 = 11.
  4. Ada 10 suku, sehingga S10 = 10 · 11 = 110.
  5. Periksa dengan cara panjang: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110, cocok.

JawabanU10 = 20 dan S10 = 110

Poin penting

  • Barisan ditentukan oleh aturannya, bukan oleh bilangan-bilangan yang kebetulan tertulis.
  • Aritmetika memakai beda tetap, geometri memakai rasio tetap.
  • Suku ke-n bisa dihitung langsung dari suku pertama dan bedanya.
  • Notasi sigma hanya menyingkat penjumlahan, bukan mengubah hasilnya.

Latihan singkat

MudahSoal 1 dari 3

Barisan 3, 7, 11, 15, … punya beda tetap. Berapa bedanya?

SedangSoal 2 dari 3

Suku ke-20 dari barisan 5, 8, 11, 14, … adalah …

SulitSoal 3 dari 3

Barisan 2, 6, 18, 54, … Manakah pernyataan yang benar tentang barisan itu?

Skor sesi ini0 / 3