02

Bilangan kompleks

02 · Aljabar & persamaan8 menit · Menengah

Bilangan kompleks lahir dari satu pertanyaan yang tidak bisa dijawab bilangan real: akar dari bilangan negatif itu apa? Tidak ada bilangan real yang kuadratnya negatif, jadi jawabannya tidak ditemukan melainkan dibuat. Begitu dibuat, ia menutup banyak persamaan yang tadinya buntu.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Satu titik, bukan dua bilangan

Bilangan kompleks punya dua bagian, jadi ia digambar sebagai titik di bidang. Bidangnya berskala sama di kedua arah, supaya konjugatnya benar-benar tampak sebagai cerminan dan modulusnya benar-benar tampak sebagai jarak.

5
5/5
Bilangan real termasuk bilangan kompleks, dengan bagian imajiner nol. Itu sebabnya bidang ini memuat garis bilangan yang selama ini dipakai.

Konsep

Satuan imajiner

Kuadrat bilangan real tidak pernah negatif, sehingga tidak ada bilangan real yang kuadratnya −1. Karena itu satu bilangan baru didefinisikan untuk mengisinya: i, dengan i2 = −1. Dari situ akar bilangan negatif bisa ditulis, misalnya akar dari −9 sama dengan 3i. Yang dibuat bukan sekadar lambang, melainkan bilangan yang punya aturan hitung sendiri.

Bentuk a + bi

Gabungan bagian real dan bagian imajiner menghasilkan bilangan kompleks z = a + bi. Angka a disebut bagian real dan b bagian imajiner. Kalau b = 0, bilangannya real biasa, dan kalau a = 0 ia disebut imajiner murni. Jadi bilangan real adalah himpunan bagian dari bilangan kompleks, bukan himpunan yang terpisah darinya.

Bidang kompleks

Karena punya dua bagian, satu bilangan kompleks tidak muat pada garis bilangan. Ia digambar sebagai satu titik di bidang: bagian real ke arah mendatar dan bagian imajiner ke arah tegak. Dengan cara itu 3 + 2i menjadi titik (3, 2), dan menjumlahkan dua bilangan kompleks menjadi sama dengan menjumlahkan dua vektor.

Konjugat dan modulus

Konjugat dari a + bi adalah a − bi: hanya tanda bagian imajinernya yang berubah, sehingga titiknya bercermin terhadap sumbu mendatar. Modulusnya adalah jarak titik itu dari titik asal, dihitung dengan Pythagoras: akar dari a2 + b2. Modulus tidak pernah negatif, dan hasil kali sebuah bilangan dengan konjugatnya sama dengan kuadrat modulusnya.

Rumus yang dipakai

Satuan imajiner
i2 = −1

Definisi yang membuat akar bilangan negatif punya arti.

Bentuk umum
z = a + bi

a bagian real, b bagian imajiner.

Konjugat
a + bi → a − bi

Tanda bagian imajinernya dibalik.

Modulus
|z| = √a2 + b2

Jarak titik itu dari titik asal.

Penjumlahan
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Bagian real dan bagian imajiner dijumlahkan terpisah.

Contoh pengerjaan

Menjumlahkan, mengonjugatkan, dan menghitung modulus

Diketahui z = 3 + 2i dan w = 1 + 3i. Tentukan z + w, konjugat dari z, dan |z|.

  1. Jumlahkan bagian realnya: 3 + 1 = 4.
  2. Jumlahkan bagian imajinernya: 2 + 3 = 5.
  3. Jadi z + w = 4 + 5i.
  4. Konjugat hanya membalik tanda bagian imajiner, sehingga konjugat z = 3 − 2i.
  5. Modulus z adalah jaraknya ke titik asal: |z| = √32 + 22 = √13.
  6. Periksa dengan konjugatnya: (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 + 4 = 13, tepat kuadrat modulusnya.

Jawabanz + w = 4 + 5i, konjugat z = 3 − 2i, dan |z| = √13

Poin penting

  • i2 = −1, dan dari situ akar bilangan negatif bisa ditulis.
  • Setiap bilangan kompleks punya bagian real dan bagian imajiner.
  • Konjugat membalik tanda bagian imajiner, atau mencerminkan titiknya lewat sumbu mendatar.
  • Modulus adalah jarak ke titik asal, dihitung dengan Pythagoras.

Latihan singkat

MudahSoal 1 dari 3

Nilai dari i2 adalah …

SedangSoal 2 dari 3

Modulus dari 6 + 8i adalah …

SulitSoal 3 dari 3

Manakah pernyataan yang benar tentang bilangan kompleks?

Skor sesi ini0 / 3