02

Matriks: operasi, determinan & invers

02 · Aljabar & persamaan9 menit · Menengah

Matriks adalah cara menyusun banyak bilangan dalam baris dan kolom supaya bisa diperlakukan sebagai satu kesatuan. Bentuk itu membuat sistem persamaan yang panjang bisa ditulis sebagai satu operasi, dan membuat penyelesaiannya bisa dihitung dengan satu rumus.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Determinan, invers, dan pemeriksaannya

Determinan memberi tahu apakah sebuah matriks bisa dibalik. Kalau nilainya tidak nol, inversnya bisa dihitung, dan hasil kalinya harus kembali menjadi matriks identitas.

5
5/5
Matriks dengan determinan nol tidak punya invers, karena tidak ada cara mengembalikannya ke bentuk semula.

Konsep

Baris, kolom, dan ordo

Matriks ditulis di dalam kurung siku, dan ukurannya disebut ordo: banyak baris dikali banyak kolom. Matriks 2 × 3 punya 2 baris dan 3 kolom, sehingga memuat 6 bilangan. Angka yang duduk di baris i dan kolom j disebut unsur aij, dan letaknya ditentukan oleh kedua indeks itu.

Penjumlahan dan perkalian skalar

Dua matriks bisa dijumlahkan hanya kalau ordonya sama, dan caranya menjumlahkan unsur yang seposisi. Perkalian dengan bilangan biasa dikerjakan pada setiap unsur, satu per satu. Kedua operasi ini tidak mengubah bentuk matriksnya, jadi ordonya tetap sama seperti semula.

Perkalian dua matriks

Perkalian matriks tidak mengerjakan unsur seposisi. Setiap unsur hasil adalah jumlah hasil kali satu baris dengan satu kolom, sehingga matriks 2 × 3 boleh dikali matriks 3 × 2 tetapi tidak sebaliknya. Karena urutannya berpengaruh, AB belum tentu sama dengan BA.

Determinan dan invers

Determinan matriks 2 × 2 adalah selisih hasil kali diagonal utama dengan hasil kali diagonal yang lain. Kalau determinannya nol, matriks itu tidak punya invers: tidak ada matriks yang bisa mengembalikannya ke bentuk semula. Kalau tidak nol, inversnya diperoleh dengan menukar posisi diagonal utama, membalik tanda dua unsur yang lain, lalu membagi semuanya dengan determinannya.

Rumus yang dipakai

Ordo matriks
banyak baris × banyak kolom

Baris selalu disebut lebih dulu.

Penjumlahan
(A + B)ij = aij + bij

Hanya berlaku kalau ordonya sama.

Perkalian matriks
(AB)ij = Σ aik · bkj

Baris dikali kolom, lalu hasilnya dijumlahkan.

Determinan 2 × 2
det A = ad − bc

Diagonal utama dikurangi diagonal yang lain.

Syarat invers
A · A−1 = I

Ada hanya kalau det A tidak nol.

Contoh pengerjaan

Determinan dan invers sebuah matriks

Diketahui A = [[2, 1], [3, 4]]. Tentukan det A, lalu periksa bahwa A · A−1 = I.

  1. Determinannya selisih kedua diagonal: det A = 2 · 4 − 1 · 3 = 8 − 3 = 5.
  2. Karena 5 tidak nol, inversnya ada. Tukar posisi 2 dan 4, lalu balik tanda 1 dan 3.
  3. Sehingga A−1 = 1/5 · [[4, −1], [−3, 2]].
  4. Kalikan A dengan bagian itu tanpa faktor 1/5 lebih dulu. Baris pertama memberi 2 · 4 + 1 · (−3) = 5 dan 2 · (−1) + 1 · 2 = 0.
  5. Baris kedua memberi 3 · 4 + 4 · (−3) = 0 dan 3 · (−1) + 4 · 2 = 5.
  6. Hasil sementaranya 5 · I. Faktor 1/5 membagi semuanya, sehingga hasil akhirnya tepat I.

JawabanA−1 = 1/5 · [[4, −1], [−3, 2]]

Poin penting

  • Ordo matriks ditulis baris dikali kolom, dan baris selalu disebut lebih dulu.
  • Dua matriks hanya bisa dijumlahkan kalau ordonya sama.
  • Perkalian matriks memakai baris kali kolom, dan urutannya tidak boleh ditukar.
  • Matriks punya invers hanya kalau determinannya tidak nol.

Latihan singkat

MudahSoal 1 dari 3

Matriks dengan 2 baris dan 3 kolom berordo …

SedangSoal 2 dari 3

Determinan dari matriks [[3, 2], [1, 4]] adalah …

SulitSoal 3 dari 3

Manakah pernyataan yang benar tentang matriks?

Skor sesi ini0 / 3