06

Logika matematika & penarikan kesimpulan

06 · Himpunan, logika & diskrit8 menit · Menengah

Logika matematika memeriksa bagaimana nilai benar dan salah merambat melalui pernyataan majemuk. Aturannya sedikit dan bisa dibaca dari satu tabel, tetapi implikasi punya satu baris yang terasa aneh sampai alasannya dipahami.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Empat baris yang menentukan semuanya

Tabel kebenaran mengubah pertanyaan tentang logika menjadi pekerjaan menghitung. Konjungsi dan disjungsi masing-masing gagal di dua baris, sedangkan implikasi hanya gagal di satu.

5
5/5
Kalau p salah, implikasinya dianggap benar walaupun q juga salah, karena janji tidak dilanggar oleh keadaan yang tidak memenuhi syaratnya.

Konsep

Pernyataan dan nilainya

Pernyataan adalah kalimat yang bisa dinilai benar atau salah tanpa bergantung pada pendapat. “7 adalah bilangan prima” adalah pernyataan, sedangkan “matematika itu menyenangkan” bukan, karena nilainya bergantung pada siapa yang menilai. Kalimat terbuka seperti x + 1 = 3 baru menjadi pernyataan setelah x ditentukan.

Negasi, konjungsi, dan disjungsi

Negasi membalik nilai kebenaran sebuah pernyataan. Konjungsi p ∧ q benar hanya kalau keduanya benar, sedangkan disjungsi p ∨ q salah hanya kalau keduanya salah. Disjungsi di sini inklusif: keduanya boleh benar sekaligus, dan itu tetap dihitung benar.

Implikasi dan satu baris yang aneh

Implikasi p → q hanya salah pada satu keadaan, yaitu ketika p benar tetapi q salah. Kalau p salah, implikasinya dianggap benar walaupun q juga salah. Alasannya, sebuah janji tidak dilanggar oleh keadaan yang tidak memenuhi syaratnya.

Konvers, invers, dan kontraposisi

Dari p → q bisa dibentuk konvers q → p, invers bukan p → bukan q, dan kontraposisi bukan q → bukan p. Hanya kontraposisi yang selalu setara dengan pernyataan asalnya, dan itulah sebabnya kontraposisi sering dipakai untuk membuktikan sesuatu lewat arah yang lebih mudah.

Penarikan kesimpulan

Modus ponens bergerak dari p → q dan p menuju q. Modus tollens bergerak dari p → q dan bukan q menuju bukan p. Silogisme merangkai dua implikasi menjadi satu. Ketiganya sah. Yang tidak sah adalah menyimpulkan q hanya dari p → q, karena p belum tentu terjadi.

Rumus yang dipakai

Konjungsi
p ∧ q benar hanya kalau keduanya benar

Salah pada tiga baris dari empat.

Disjungsi
p ∨ q salah hanya kalau keduanya salah

Inklusif, jadi keduanya boleh benar sekaligus.

Implikasi
p → q salah hanya kalau p benar dan q salah

Satu-satunya baris yang bernilai salah.

Kontraposisi
(p → q) ≡ (bukan q → bukan p)

Selalu setara dengan pernyataan asalnya.

Modus tollens
p → q, bukan q  ∴  bukan p

Bentuk penarikan kesimpulan yang sah.

Contoh pengerjaan

Menyimpulkan dari sebuah implikasi

Diketahui dua pernyataan yang keduanya benar: “jika hujan maka jalan basah” dan “jalan tidak basah”. Apa yang bisa disimpulkan?

  1. Tulis implikasinya sebagai p → q, dengan p berarti hujan dan q berarti jalan basah.
  2. Yang diketahui kedua adalah bukan q, karena jalannya tidak basah.
  3. Bentuk p → q bersama bukan q adalah modus tollens.
  4. Kesimpulannya bukan p, yaitu tidak hujan.
  5. Periksa dengan kontraposisinya: bukan q → bukan p memang setara dengan pernyataan asalnya, jadi kesimpulan itu sah.

JawabanTidak hujan

Poin penting

  • Konjungsi menuntut keduanya benar, sedangkan disjungsi cukup salah satunya.
  • Implikasi hanya salah ketika sebabnya terjadi tetapi akibatnya tidak.
  • Hanya kontraposisi yang setara dengan pernyataan asalnya.
  • Modus ponens, modus tollens, dan silogisme adalah tiga bentuk yang sah.

Latihan singkat

MudahSoal 1 dari 3

Implikasi p → q bernilai salah hanya ketika …

SedangSoal 2 dari 3

Manakah pasangan pernyataan yang selalu setara?

SulitSoal 3 dari 3

Diketahui “jika n genap maka n² genap” dan “n² tidak genap”. Kesimpulannya adalah …

Skor sesi ini0 / 3