02

Logaritma

02 · Aljabar & persamaan8 menit · Menengah

Logaritma hanya menjawab satu pertanyaan: pangkat berapa? Pertanyaan itu muncul begitu kita sudah bisa menghitung 2 pangkat 5, tetapi belum bisa menjawab 2 pangkat berapa yang hasilnya 32. Jawabannya bukan bilangan baru, melainkan cara membaca pangkat dari arah sebaliknya.

Lihat dulu

LIHAT DULU

Pangkat yang dicari dari arah sebaliknya

Logaritma menjawab pertanyaan 2 pangkat berapa. Empat titik acuan di bawah ini adalah pangkat yang hasilnya bulat, dan jarak antar titik itulah yang membuat kurvanya makin landai.

5
5/5
Setiap kali x berlipat dua, y bertambah satu. Itu sebabnya kurvanya melandai walaupun tidak pernah berhenti naik.

Konsep

Pertanyaan yang dijawab logaritma

Menghitung 25 itu mudah: kalikan saja. Pertanyaan sebaliknya, yaitu 2 pangkat berapa yang hasilnya 32, tidak bisa dijawab dengan mengalikan. Logaritma adalah nama untuk jawaban itu: 2log 32 = 5. Kedua pernyataan itu mengatakan hal yang persis sama, hanya dibaca dari arah yang berbeda.

Definisi dan syaratnya

Logaritma dari b dengan basis a adalah pangkat yang harus diberikan kepada a supaya hasilnya b. Karena itu basisnya harus bilangan positif yang tidak sama dengan 1, dan bilangan yang dicari logaritmanya juga harus positif. Basis 1 tidak berguna karena semua pangkatnya bernilai 1, sedangkan bilangan negatif tidak pernah muncul sebagai hasil pangkat bilangan positif.

Perkalian menjadi penjumlahan

Sifat paling berguna logaritma adalah mengubah perkalian menjadi penjumlahan. Alasannya sederhana: waktu dua pangkat dengan basis yang sama dikalikan, pangkatnya justru dijumlahkan. Karena logaritma adalah pangkat itu sendiri, hasil kali dua bilangan berubah menjadi jumlah kedua logaritmanya. Pembagian bekerja dengan cara yang sama, tetapi mengurangi.

Logaritma dan eksponen saling membalik

Fungsi eksponen mengubah pangkat menjadi hasil, dan logaritma mengembalikan hasil itu menjadi pangkat. Karena itu grafik keduanya bercermin terhadap garis y = x. Yang mudah terlewat, hasil logaritma boleh negatif meskipun basisnya lebih dari satu: 2log 12 = −1, karena 2−1 = 12.

Rumus yang dipakai

Definisi logaritma
alog b = c

Sama artinya dengan ac = b.

Logaritma hasil kali
alog (p · q) = alog p + alog q

Perkalian di dalam berubah menjadi penjumlahan di luar.

Logaritma hasil bagi
alog pq = alog p − alog q

Pembagian berubah menjadi pengurangan.

Logaritma bilangan berpangkat
alog pn = n · alog p

Pangkatnya boleh maju ke depan.

Nilai istimewa
alog 1 = 0  dan  alog a = 1

Berlaku untuk setiap basis yang sah.

Contoh pengerjaan

Menghitung jumlah dan selisih logaritma

Hitunglah 2log 8 + 2log 4 − 2log 2.

  1. Ubah tiap bilangan menjadi pangkat dari 2: 8 = 23, 4 = 22, dan 2 = 21.
  2. Karena itu 2log 8 = 3, 2log 4 = 2, dan 2log 2 = 1.
  3. Sifat hasil kali dan hasil bagi menggabungkan ketiganya: 2log (8 × 4 ÷ 2).
  4. Bagian dalam kurungnya menjadi 2log 16, dan 16 = 24.
  5. Hasilnya 4. Periksa dengan cara panjang: 3 + 2 − 1 = 4, cocok.

Jawaban2log 8 + 2log 4 − 2log 2 = 4

Poin penting

  • alog b = c adalah cara lain menulis ac = b.
  • Basis harus positif dan tidak sama dengan 1, dan yang dicari logaritmanya harus positif.
  • Perkalian menjadi penjumlahan, dan pembagian menjadi pengurangan.
  • alog 1 selalu 0, dan alog a selalu 1.

Latihan singkat

MudahSoal 1 dari 3

Nilai dari 3log 27 adalah …

SedangSoal 2 dari 3

Nilai dari 2log 64 adalah …

SulitSoal 3 dari 3

Manakah pernyataan yang benar tentang logaritma?

Skor sesi ini0 / 3