Induksi matematika membuktikan pernyataan tentang semua bilangan asli tanpa memeriksa satu per satu. Ia hanya butuh dua langkah, dan keduanya bekerja seperti deretan kartu domino: satu dorongan awal, lalu setiap kartu menjatuhkan kartu berikutnya.
Lihat dulu
LIHAT DULU
Deretan domino yang tidak berhenti
Induksi tidak memeriksa setiap bilangan satu per satu. Ia mendorong yang pertama, lalu menunjukkan bahwa satu kartu yang jatuh selalu menjatuhkan kartu berikutnya.
5/5
Basis tanpa langkah induksi hanya membuktikan satu kasus, dan langkah induksi tanpa basis tidak pernah mulai.
Konsep
Kenapa contoh saja tidak cukup
Memeriksa n = 1, 2, dan 3 memang meyakinkan, tetapi tidak pernah menjangkau seluruh bilangan asli yang banyaknya tak terbatas. Satu contoh yang melanggar sudah cukup membantah, sedangkan seribu contoh yang benar tidak cukup membuktikan. Yang dibutuhkan adalah alasan yang berlaku untuk sembarang n.
Dua langkah yang harus lengkap
Basis memeriksa pernyataan untuk nilai terkecil, biasanya n = 1. Langkah induksi menunjukkan bahwa kalau pernyataannya benar untuk sembarang n, maka benar juga untuk n + 1. Basis tanpa langkah induksi hanya membuktikan satu kasus, dan langkah induksi tanpa basis tidak pernah mulai.
Menulis langkah induksi
Mulai dari yang diandaikan benar untuk n, lalu kerjakan sesuatu supaya bentuknya berubah menjadi bentuk untuk n + 1. Pada jumlah, caranya menambahkan suku berikutnya ke kedua ruas. Setelah itu sederhanakan sampai bentuknya persis sama dengan rumus yang diharapkan kalau n diganti n + 1.
Kesalahan yang sering terjadi
Yang paling sering: memakai pernyataan yang ingin dibuktikan sebagai kebenaran yang sudah pasti, atau melompat langsung ke kesimpulan tanpa menyederhanakan bentuknya. Keduanya membuat pembuktian itu tidak membuktikan apa pun. Yang diandaikan di langkah induksi hanya berlaku untuk satu nilai n, bukan untuk semua nilai sekaligus.
Rumus yang dipakai
Bentuk induksi
P(1) benar dan P(n) → P(n + 1)
Basis dan langkah induksi, keduanya wajib.
Jumlah n bilangan asli pertama
1 + 2 + … + n = n(n + 1)2
Contoh induksi yang paling sering dipakai.
Jumlah n bilangan ganjil pertama
1 + 3 + … + (2n − 1) = n²
Jumlahnya selalu kuadrat sempurna.
Langkah untuk n + 1
P(n + 1) = P(n) + suku ke-(n + 1)
Tambahkan suku berikutnya ke kedua ruas.
Contoh pengerjaan
Induksi untuk jumlah n bilangan asli pertama
Buktikan dengan induksi bahwa 1 + 2 + … + n = n(n + 1)2 untuk setiap bilangan asli n.
Basis: untuk n = 1, ruas kiri 1 dan ruas kanan 1 · 2 / 2 = 1, jadi benar.
Andaikan pernyataannya benar untuk sembarang n: 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2.
Tambahkan suku berikutnya, yaitu n + 1, ke kedua ruas.
Bentuk itu tepat rumus yang diharapkan untuk n + 1, jadi langkah induksinya berhasil.
Basis dan langkah induksi keduanya berhasil, sehingga pernyataannya benar untuk semua bilangan asli.
JawabanTerbukti: 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2
Poin penting
Contoh yang banyak tetap bukan bukti, sedangkan satu contoh penyangkal sudah cukup membantah.
Basis memeriksa nilai terkecil, biasanya n = 1.
Langkah induksi memindahkan kebenaran dari n ke n + 1.
Kedua langkah harus ada; satu saja tidak menjangkau semua bilangan asli.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Apa yang diperiksa pada langkah basis induksi matematika?
Rantai domino harus punya kartu pertama yang jatuh.
PembahasanBasis hanya memeriksa satu nilai, yaitu yang terkecil, supaya rantainya punya titik mulai. Memeriksa n = 100 tidak membantu karena langkah induksi bergerak satu langkah setiap kali. Mencari contoh yang salah bukan bagian dari induksi, melainkan cara membantah pernyataan.
SedangSoal 2 dari 3
Urutkan langkah induksi untuk membuktikan 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2.
Mulai dari nilai terkecil, dan akhiri dengan bentuk untuk n + 1.
1Andaikan pernyataannya benar untuk sembarang n.
2Ruas kiri menjadi n(n + 1) / 2 + (n + 1).
3Periksa basis: untuk n = 1, ruas kiri 1 dan ruas kanan 1 · 2 / 2 = 1, jadi benar.
4Sederhanakan menjadi (n + 1)(n + 2) / 2, tepat bentuk untuk n + 1.
5Tambahkan suku berikutnya, yaitu n + 1, ke kedua ruas.
PembahasanBasis dikerjakan lebih dulu supaya rantainya punya titik mulai. Setelah itu pengandaian untuk n dipakai, suku berikutnya ditambahkan ke kedua ruas, dan bentuknya disederhanakan sampai cocok dengan rumus untuk n + 1.
SulitSoal 3 dari 3
Induksi matematika bisa membuktikan pernyataan tentang semua bilangan asli hanya dengan memeriksa beberapa contoh.
Ingat berapa banyak bilangan asli yang ada.
PembahasanMemeriksa beberapa contoh tidak pernah cukup, karena bilangan aslinya tak terbatas. Induksi menggantinya dengan dua langkah: basis untuk satu nilai, dan langkah induksi yang memindahkan kebenaran dari n ke n + 1. Keduanya bersama-sama menjangkau semua bilangan asli tanpa memeriksa satu per satu.