Menjumlahkan tak hingga banyak bilangan terdengar seperti hal yang mustahil, tetapi kadang hasilnya justru bilangan biasa. Deret adalah jumlah suku-suku barisan, dan pertanyaan utamanya satu: kalau sukunya ditambah terus, jumlahnya menuju suatu angka atau tumbuh tanpa batas?
Lihat dulu
LIHAT DULU
Naik terus, tanpa pernah sampai
Menjumlahkan suku tanpa henti terdengar mustahil, tetapi kadang jumlahnya berhenti di satu angka. Pertanyaan deret cuma satu: kapan itu terjadi, dan kapan justru tidak.
5/5
Rasio deret ini ½. Selama rasionya di antara −1 dan 1, jumlah tak hingganya punya rumus tetap: S∞ = a ÷ (1 − r) = 1 ÷ ½ = 2. Uji rasio menjawab pertanyaan yang sama untuk deret yang rasionya berubah-ubah.
Konsep
Deret adalah jumlah barisan
Barisan adalah daftar suku, sedangkan deret adalah jumlahnya. Untuk melihat ke mana sebuah deret menuju, orang mengamati jumlah sebagiannya: S1 satu suku, S2 dua suku, dan seterusnya. Kalau Sn mendekati satu bilangan tetap, deretnya konvergen.
Konvergen dan divergen
Konvergen berarti jumlahnya menuju satu batas yang tetap. Divergen berarti tidak: entah tumbuh tanpa batas, atau berayun tanpa pernah menetap. Deret 1 + ½ + ¼ + … konvergen ke 2, sedangkan 1 + 2 + 3 + … divergen karena jumlahnya terus membesar.
Deret geometri
Deret geometri punya rasio tetap antara satu suku dan suku sebelumnya. Kalau rasionya berada di antara −1 dan 1, sukunya makin kecil sehingga jumlahnya menuju satu batas yang bisa dihitung langsung. Kalau rasionya 1 atau lebih, sukunya tidak mengecil dan jumlahnya divergen.
Suku menuju nol belum cukup
Kalau sukunya tidak menuju nol, deretnya pasti divergen, karena yang ditambahkan tidak pernah mengecil. Tetapi sebaliknya tidak berlaku: deret harmonik 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … sukunya menuju nol, namun jumlahnya tetap tumbuh tanpa batas. Jadi suku menuju nol adalah syarat perlu, bukan syarat cukup.
Rumus yang dipakai
Jumlah tak hingga
S∞ = a1 − r
Berlaku hanya kalau |r| < 1.
Jumlah n suku
Sn = a(1 − rn)1 − r
Untuk deret geometri dengan suku awal a.
Syarat perlu
kalau ∑un konvergen, maka un → 0
Tidak berlaku sebaliknya.
Uji rasio
lim |un+1 ÷ un| < 1 → konvergen
Kalau limitnya lebih dari 1, deretnya divergen.
Deret harmonik
1 + ½ + ⅓ + ¼ + …
Divergen, walaupun sukunya menuju nol.
Contoh pengerjaan
Jumlah deret geometri tak hingga
Hitung 8 + 4 + 2 + 1 + …
Suku awalnya 8, jadi a = 8.
Rasionya 4 ÷ 8 = ½, dan ½ berada di antara −1 dan 1.
Karena |r| < 1, deretnya konvergen dan rumusnya boleh dipakai.
S∞ = 81 − ½ = 8 ÷ ½ = 16.
Periksa dengan jumlah sebagian: 8, 12, 14, 15, 15,5, dan seterusnya menuju 16.
Jawaban16
Poin penting
Deret adalah jumlah suku-suku barisan.
Konvergen berarti jumlahnya menuju satu batas tetap.
Deret geometri konvergen hanya kalau rasionya di antara -1 dan 1.
Suku menuju nol adalah syarat perlu, bukan syarat cukup.
Deret harmonik divergen walaupun sukunya menuju nol.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Deret 16 + 8 + 4 + 2 + … konvergen ke …
Periksa rasionya dulu, baru pakai rumus jumlah tak hingga.
PembahasanSuku awalnya 16 dan rasionya ½, jadi deretnya konvergen. Jumlahnya 16 ÷ (1 − ½) = 16 ÷ ½ = 32. Jawaban 30 adalah jumlah empat suku pertamanya saja, bukan jumlah seluruh deretnya.
SedangSoal 2 dari 3
Hitung jumlah deret 12 + 6 + 3 + 1,5 + …
Rasio deret ini setengah, seperti contoh di materi.
PembahasanSuku awalnya 12 dan rasionya ½, jadi deretnya konvergen. Jumlahnya 12 ÷ (1 − ½) = 24. Perhatikan bahwa jumlahnya selalu dua kali suku awalnya, karena rasionya tepat setengah.
SulitSoal 3 dari 3
Manakah pernyataan yang benar tentang deret tak hingga?
Pikirkan deret harmonik sebagai pembanding.
PembahasanRasio setengah membuat sukunya mengecil sehingga jumlahnya menetap, sedangkan rasio 2 membuatnya membesar. Pernyataan ketiga keliru karena deret harmonik adalah contoh lawannya: sukunya menuju nol tetapi jumlahnya tidak menetap. Arah sebaliknya baru berlaku: suku yang tidak menuju nol pasti divergen.