Turunan menjawab seberapa cepat sesuatu berubah. Integral menanyakan kebalikannya: kalau perubahannya sudah diketahui, fungsi aslinya apa? Karena banyak fungsi berbeda punya turunan yang sama, jawabannya bukan satu fungsi melainkan satu keluarga fungsi.
Lihat dulu
LIHAT DULU
Menumpuk potongan tipis
Luas daerah di bawah kurva bisa dihitung dengan memotongnya jadi persegi panjang tipis lalu menjumlahkannya. Makin tipis potongannya, makin dekat hasilnya, dan antiturunan adalah jalan pintas untuk penjumlahan itu.
5/5
Antiturunan adalah cara menjumlahkan potongan yang tipisnya menuju nol tanpa benar-benar menjumlahkannya satu per satu.
Konsep
Integral adalah turunan yang dibalik
Kalau F′(x) = f(x), maka F disebut antiturunan dari f, dan ditulis ∫f(x) dx = F(x) + C. Karena itu hasil integral selalu bisa diperiksa: turunkan kembali, dan kalau hasilnya bukan soal aslinya, ada langkah yang salah.
Aturan pangkat, dibaca terbalik
Turunan menurunkan pangkat satu lalu mengalikannya dengan pangkat lama. Integral membalik urutannya: pangkatnya naik satu, lalu dibagi pangkat baru itu. Pembagian itu yang paling sering terlupa, dan tanpa itu hasilnya tidak kembali ke soal aslinya saat diturunkan.
Konstanta C tidak boleh hilang
x², x² + 1, dan x² − 7 punya turunan yang sama persis, yaitu 2x. Jadi antiturunan 2x bukan satu fungsi melainkan seluruh keluarga fungsi yang berbeda konstanta, dan C adalah cara menulis seluruh keluarga itu sekaligus.
Boleh dipecah, dengan satu pantangan
Integral jumlah sama dengan jumlah integralnya, dan konstanta pengali boleh dikeluarkan. Jadi ∫(6x² − 4x + 5) dx dikerjakan suku demi suku. Yang tidak boleh dikeluarkan adalah variabelnya: ∫2x dx bukan 2x · ∫dx, karena x di dalam integral ikut berubah nilainya.
Rumus yang dipakai
Definisi
∫f(x) dx = F(x) + C
Berlaku kalau F′(x) = f(x).
Aturan pangkat
∫xn dx = xn+1n + 1 + C
Berlaku untuk semua pangkat kecuali −1.
Konstanta
∫k dx = kx + C
Konstanta menjadi kx, bukan hilang.
Jumlah dan selisih
∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx
Suku demi suku, termasuk yang dikurangkan.
Kelipatan
∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx
Konstanta boleh keluar, variabel tidak.
Contoh pengerjaan
Antiturunan suku banyak
Tentukan ∫(6x² − 4x + 5) dx.
Kerjakan tiap suku sendiri-sendiri, karena integral jumlah sama dengan jumlah integral.
∫6x² dx: pangkatnya naik jadi 3, lalu dibagi 3, jadi 6x³/3 = 2x³.
∫4x dx: pangkatnya naik jadi 2, jadi 4x²/2 = 2x². Suku ini dikurangkan.
∫5 dx: konstanta menjadi 5x.
Gabungkan, lalu tambahkan satu konstanta untuk seluruhnya: 2x³ − 2x² + 5x + C.
Periksa dengan menurunkan: 6x² − 4x + 5, kembali ke soal.
Jawaban2x³ − 2x² + 5x + C
Poin penting
Integral adalah kebalikan turunan, jadi hasilnya selalu ditambah C.
Aturan pangkat: pangkatnya naik satu, lalu dibagi pangkat baru itu.
Integral jumlah dikerjakan suku demi suku.
Konstanta pengali boleh dikeluarkan, variabel tidak.
Hasil integral diperiksa dengan menurunkannya kembali.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Hasil dari ∫8x³ dx adalah …
Naikkan pangkatnya satu, lalu bagi dengan pangkat baru itu.
PembahasanPangkatnya naik dari 3 menjadi 4, lalu dibagi 4: 8x4/4 = 2x4. Pilihan 24x² justru hasil turunan, bukan antiturunan, sedangkan 8x4 lupa membagi dengan pangkat barunya.
SedangSoal 2 dari 3
Diketahui F′(x) = 8x dan F(1) = 7. Berapa nilai C pada F(x) = 4x² + C?
Masukkan x = 1 ke F(x), lalu samakan hasilnya dengan 7.
PembahasanAntiturunan 8x adalah 4x² + C. Substitusi x = 1 memberi 4 + C = 7, jadi C = 3. Nilai C itu tidak bisa dibaca dari turunannya, dan itulah sebabnya satu titik pada kurvanya perlu diketahui.
SulitSoal 3 dari 3
Manakah yang benar tentang ∫(6x + 2) dx?
Kerjakan tiap suku, lalu periksa dengan menurunkan hasilnya.
PembahasanTiap suku dikerjakan sendiri: ∫6x dx = 3x² dan ∫2 dx = 2x. Jawaban 6x² lupa membagi dengan pangkat barunya, dan 6 + C adalah turunan dari soalnya, bukan antiturunannya.