Persamaan yang memuat turunan
Persamaan diferensial adalah persamaan yang di dalamnya ada turunan, misalnya y′ = 2x atau y′ = y. Yang dicari adalah fungsi y yang memenuhi persamaan itu untuk semua x, bukan satu nilai x tertentu.
05
Persamaan diferensial dasar
Sampai di sini yang dicari selalu bilangan: nilai x, nilai y, atau luas daerah. Persamaan diferensial mengubah pertanyaannya. Yang dicari adalah fungsinya sendiri, dan petunjuk yang diberikan adalah laju perubahannya, bukan nilainya.
Lihat dulu
LIHAT DULU
Satu persamaan, satu keluarga solusi
Persamaan diferensial tidak menanyakan nilai x berapa, melainkan fungsi apa. Jawabannya bukan satu, melainkan satu keluarga, dan satu titik awal memilih satu di antaranya.
Konsep
Bentuk paling sederhana
Kalau ruas kanannya hanya memuat x, persamaan itu selesai dengan satu kali integral: y = ∫f(x) dx. Karena integralnya tak tentu, hasilnya memuat konstanta C, dan setiap nilai C memberi satu solusi yang sah.
Satu keluarga solusi, bukan satu jawaban
Untuk y′ = y, solusinya adalah seluruh keluarga y = Cex. Menggandakan C menggandakan tingginya di setiap titik tanpa mengubah bentuk kurvanya. Jadi persamaan diferensial tidak menentukan satu kurva, melainkan satu keluarga kurva.
Syarat awal yang memilih satu
Untuk memilih satu anggota keluarga, dibutuhkan satu keterangan tambahan: nilai fungsinya di satu titik, misalnya y(0) = 5. Keterangan itu disebut syarat awal, dan gunanya hanya satu, yaitu menentukan nilai C yang tadinya bebas.
Rumus yang dipakai
y′ = f(x, y)
Ruas kanannya boleh memuat x dan y sekaligus.
y′ = f(x) → y = ∫f(x) dx + C
Selesai dengan satu kali integral.
dydx = g(x)h(y) → ∫dyh(y) = ∫g(x) dx
Kumpulkan y di satu sisi dan x di sisi lain.
y(x0) = y0
Menentukan nilai C yang tadinya bebas.
y′ = ky → y = y0ekx
Laju perubahan sebanding dengan nilainya sendiri.
Contoh pengerjaan
Dari turunan ke fungsi, lewat satu titik
Selesaikan y′ = 2x dengan y(0) = 5.
- Ruas kanannya hanya memuat x, jadi persamaannya selesai dengan satu kali integral.
- y = ∫2x dx = x² + C.
- Sekarang C masih bebas, dan setiap nilainya memberi kurva yang berbeda.
- Pakai syarat awalnya: y(0) = 0² + C = 5, jadi C = 5.
- Solusinya y = x² + 5.
- Periksa: turunannya 2x, dan di x = 0 nilainya 5. Keduanya cocok.
Jawabany = x² + 5
Poin penting
- Persamaan diferensial mencari fungsi, bukan bilangan.
- Kalau ruas kanannya hanya memuat x, selesaikan dengan satu kali integral.
- Hasilnya satu keluarga solusi yang berbeda-beda konstanta C.
- Syarat awal menentukan C, sehingga memilih satu anggota keluarga.
- Periksa selalu dengan menurunkan solusinya kembali.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Solusi umum dari y′ = 6x² adalah …
Ruas kanannya hanya memuat x, jadi integralkan sekali.
PembahasanKarena ruas kanannya hanya memuat x, solusinya adalah integralnya: ∫6x² dx = 2x³ + C. Jawaban 12x adalah turunan dari soalnya, dan 6x³ lupa membagi dengan pangkat barunya.
SedangSoal 2 dari 3
Diketahui y′ = 2x dengan y(0) = 5. Berapa y(3)?
Tentukan C dulu dari y(0), baru hitung di x = 3.
PembahasanIntegral 2x adalah x² + C. Syarat y(0) = 5 memberi C = 5, jadi y = x² + 5. Substitusi x = 3 memberi 9 + 5 = 14. Angka 9 saja adalah nilai x²-nya, tanpa konstanta yang ditentukan syarat awal.
SulitSoal 3 dari 3
Manakah pernyataan yang benar tentang persamaan diferensial?
Ingat bahwa C hanya hilang kalau ada syarat awal yang menentukannya.
PembahasanKeluarga y = Cex memenuhi y′ = y untuk setiap C, jadi solusinya lebih dari satu dan syarat awal yang memilih salah satunya. Kalau syarat awalnya y(0) = 0, maka C = 0 sehingga y = x². Pernyataan terakhir salah karena solusi umumnya tetap memuat C.
Skor sesi ini0 / 3