Batas bawah dan batas atas
Integral tentu menuliskan dua batas sekaligus, misalnya ∫02 x² dx. Angka bawah adalah tempat mulai dan angka atas tempat berhenti, jadi keduanya bagian dari soal. Mengubah salah satunya mengubah jawabannya.
05
Integral tentu & luas daerah
Integral tentu berangkat dari pertanyaan yang sangat konkret: berapa luas daerah di bawah sebuah kurva? Caranya dengan memotong daerah itu menjadi potongan tipis lalu menjumlahkannya. Ketika potongannya menuju nol, jumlahnya menuju satu bilangan tetap, dan bilangan itulah integral tentunya.
Lihat dulu
LIHAT DULU
Luas yang jadi satu angka
Integral tentu memasang batas bawah dan batas atas, lalu mengembalikan satu bilangan. Bilangan itu luas daerahnya, lengkap dengan tandanya.
Konsep
Hasilnya bilangan, bukan fungsi
Karena kedua batasnya dimasukkan, tidak ada lagi x yang tersisa di jawaban. Konstanta C juga hilang, dan bukan karena dilupakan: ia muncul dua kali lalu saling mengurangkan, F(b) + C dikurangi F(a) + C. Itulah sebabnya integral tentu tidak perlu menuliskan C sama sekali.
Teorema dasar kalkulus
Teoremanya menghubungkan dua hal yang tadinya terpisah: mencari luas dan mencari antiturunan. Caranya cari antiturunannya dulu, lalu hitung selisih nilainya di kedua batas, F(b) − F(a). Tidak perlu lagi menjumlahkan potongan tipis satu per satu.
Luas bertanda
Kalau kurvanya berada di bawah sumbu x, integralnya bernilai negatif. Jadi integral tentu mengukur luas bertanda, bukan luas begitu saja. Untuk mendapat luas sebenarnya dari daerah yang sebagian di bawah sumbu, kedua bagiannya dihitung terpisah lalu tandanya diabaikan.
Rumus yang dipakai
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
F adalah antiturunan dari f.
∫aa f(x) dx = 0
Tidak ada daerah yang dijumlahkan.
∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx
Bertukar batas membalik tandanya.
∫ab = ∫ac + ∫cb
Boleh dipotong di titik mana pun di antaranya.
L = ∫ab f(x) dx
Berlaku selama f(x) tidak negatif di selang itu.
Contoh pengerjaan
Luas di bawah y = x²
Hitung ∫02 x² dx.
- Cari antiturunannya lebih dulu: ∫x² dx = x³/3.
- Masukkan batas atas: x = 2 memberi 2³/3 = 8/3.
- Masukkan batas bawah: x = 0 memberi 0³/3 = 0.
- Kurangkan: 8/3 − 0 = 8/3.
- Delapan persegi panjang selebar 0,25 tadi memberi 3,19, sedangkan 8/3 ≈ 2,67. Selisihnya menyusut saat potongannya menipis.
Jawaban8/3 ≈ 2,67
Poin penting
- Integral tentu punya dua batas, dan hasilnya berupa bilangan.
- Konstanta C hilang karena muncul di kedua batas lalu dikurangkan.
- Teorema dasar kalkulus: cari antiturunan, lalu hitung selisihnya di kedua batas.
- Daerah di bawah sumbu x dihitung negatif.
- Bertukar batas membalik tanda hasilnya.
Latihan singkat
MudahSoal 1 dari 3
Nilai dari ∫13 2x dx adalah …
Cari antiturunannya dulu, baru masukkan kedua batasnya.
PembahasanAntiturunan 2x adalah x². Batas atas memberi 3² = 9 dan batas bawah memberi 1² = 1, jadi hasilnya 9 − 1 = 8. Jawaban 4 adalah selisih batasnya, bukan selisih nilai antiturunannya.
SedangSoal 2 dari 3
Hitung ∫03 2x dx.
Batas bawahnya nol, jadi antiturunannya di titik itu bernilai nol.
PembahasanAntiturunan 2x adalah x². Di batas atas 3² = 9, di batas bawah 0² = 0, jadi hasilnya 9. Karena batas bawahnya nol, hasilnya sama dengan nilai antiturunan di batas atas.
SulitSoal 3 dari 3
Manakah pernyataan yang benar tentang integral tentu?
Periksa satu per satu dengan teorema dasar kalkulus.
PembahasanBatas yang sama berarti tidak ada selang yang dijumlahkan, jadi hasilnya nol. Bertukar batas justru membalik tandanya, bukan membiarkannya. Hasilnya berupa bilangan, sehingga variabel x tidak lagi muncul.
Skor sesi ini0 / 3